Паша також проти "хвостів"?

Автор задачі: | Павло Ціцей
Задачу підготували: | Павло ціцей, Олександр Тимкович
Розбір написав: | Павло Ціцей

Рішення — потрібно зводити кожен елемент до медіани масиву. Тобто якщо медіана це $$$x$$$, то відповідь це $$$\sum_{i=1}^n |a_i-x|$$$.

Доказ:

Будемо вважати що масив $$$a$$$ відсортований. Зафіксуємо якесь $$$k$$$ і доведемо що якщо зводити елементи масиву до $$$x+k$$$, то відповідь буде більша або рівна за правильну. За припущенням, правильна відповідь $$$\sum_{i=1}^n |a_i-x|$$$.

Через те, що $$$x$$$ — це медіана, ми можемо це переписати як $$$$$$\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}x-a_i+\sum_{i=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1}^{n}a_i-x$$$$$$Тепер запишемо відповідь для $$$x+k$$$. $$$$$$\sum_{i=1}^n |a_i-x-k|=\sum_{i=1}^y x+k-a_i+\sum_{i=y+1}^n a_i-x-k$$$$$$ де $$$y$$$ — це індекс останнього елементу, що менше або рівне за $$$x+k$$$. Якщо $$$k>0$$$, то $$$y\ge\frac{n}{2}$$$ та віднявши 2 відповіді, ми отримаємо $$$$$$\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}x-a_i+\sum_{i=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1}^{n}a_i-x-\sum_{i=1}^y x+k-a_i-\sum_{i=y+1}^n a_i-x-k=$$$$$$ $$$$$$\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}x-a_i-x-k+a_i+\sum_{i=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1}^y a_i-x-x-k-a_i+\sum_{i=y+1}^{n}a_i-x-a_i+x+k=$$$$$$ $$$$$$\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}-k+\sum_{i=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1}^y -2\cdot x-k+\sum_{i=y+1}^{n}k=$$$$$$ $$$$$$-k\cdot\lfloor\frac{n}{2}\rfloor-2\cdot x\cdot (y-\lfloor\frac{n}{2}\rfloor)-k\cdot (y-\lfloor\frac{n}{2}\rfloor)+k\cdot(n-y)=-2\cdot x\cdot y+2\cdot x\cdot \lfloor\frac{n}{2}\rfloor-2\cdot k\cdot y+k\cdot n$$$$$$ Ми знаємо що $$$y\ge \frac{n}{2}$$$, тому $$$-2\cdot x\cdot y+2\cdot x\cdot \lfloor\frac{n}{2}\rfloor\le0$$$ and $$$-2\cdot k\cdot y+k\cdot n\le 0$$$, тому відповідь в цьому випадку більша або рівна. Для випадку коли $$$k<0$$$ рішення симетричне.